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研線小課堂 | 碰上這類題就害怕?老夫分分鐘破它!

人生一世,誰都不是順順利利的,誰都會有犯錯的時候,犯錯是我們生命中必不可少的一部分。既然誰都會犯錯,那人和人的區別就是對待錯誤的態度。有些人是立馬尋找原因,改正錯誤。有些人是任由錯誤放在哪里,也不去解決,也不去尋找原因,吸收教訓。對于前一種人來說,犯的錯誤反而成為下一步成功的基礎。對于后一種人來說,往后的日子里,還會繼續犯同類錯誤,還會在同一個地方摔倒多次。

人生有三種跌倒:烏龜式跌倒,不倒翁式跌倒,和朝圣者式跌倒。烏龜式的跌倒就是一旦跌倒,就不再翻身,只是仰躺著眼瞪天空,等待外力來幫扶一把;

不倒翁式的跌倒就是總是不停地跌倒而且常常是在同一個地方,但每次都不屈地爬起,然后換個方向,繼續開始下一輪的跌倒和爬起;而朝圣者式的跌倒,因為心里有個堅定的目標,比如去岡波仁齊峰朝圣,所以雖然跌倒了,但每次跌倒的地方也都更接近目標。

愿我們每個人都能做朝圣者,讓每一次跌倒,都能讓我們更接近目標。

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應用題中,我們經常會列出一個方程,方程里面是一個未知數,然后我們就能解出未知數的值。或者列出一個方程組,兩個未知數對應兩個方程,三個未知數對應三個方程,然后通過消元法,就能解出每一個未知數。這是我們常規的做應用題的方法。

但是還有一類題,其未知數的個數多于方程的個數。這類問題,我們一般稱之為不定方程(組),不定方程(組)一般有無數組解,但題意往往要求我們求出其中的特殊解(一般為整數解)。對于這類題,常規的解法就失去了作用,那怎么解決呢?我們常常利用整除、奇數偶數、范圍等特征來確定最后的答案。

先來一道題試試:

在年底的獻愛心活動中,某單位共有100人參加捐款。經統計,捐款總額是19000元,個人捐款數額有100元、500元和2000元三種。該單位捐款500元的人數為()

A,13     B,18     C,25     D,30     E,38

我們的常規解法是設未知數,然后列出方程:設捐款100元、500元和2000元的人數分別為x,y,z,則有下列方程:

化簡后:

很明顯,兩個方程,三個未知數,你要讓我通過消元法解出方程,我只能說:臣妾做不到啊!那怎么辦?走一步是一步,我先消掉一個未知數再說,兩個式子上下相減,得:

然后這個方程要想解出答案,是不太現實的,它有無數組解。可我們設的都是人數,人數肯定是正整數,那就好辦多了,我們一個個試也能試出來。我們分別讓z取1,2,3,4,5(為啥是這五個數呢,因為z再大點,y就得是負數啦),這里還有一個技巧,因為4y和90都是偶數,所以19z也得是偶數,所以z是偶數,所以z取值就為2,4。通過驗證,可得在z為2,y為13時,為唯一的整數解組合。然后我們再代入求出x的值即可。

這是利用整數的一些性質來解決這類不定方程的一個案例,大家仔細琢磨琢磨哈!

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上面是兩個方程,三個未知數讓我們求解的,就已經夠我們頭疼的了,還有更狠的呢!一個方程,三個未知數!不過,我們同樣能解,但是,得借助不等式的一些性質。

下面看題:

在某次考試中,甲、乙、丙三個班得平均成績為80,81,81.5,三個班得學生分數之和為6952,三個班共有學生()

A,85     B,86     C,87     D,88     E,90

還是我們的常規思路,先設甲、乙、丙三個班的學生人數分別為x、y、z。那根據題意,我們列出方程:

這,這,這,這讓我,獵人抓刺猬,無處下手啊!那這類題如何做呢?這類題沒有上面那道題的數字那么小,不適合用窮舉法解決。那這時,我們就要利用不等式的一些性質,把要求解的東西的值給限制到一定的范圍,然后再計算。我們把式子變化一下。

因為我們要求解的是x+y+z的值嘛,所以可以通過這個變化,給x+y+z計算出一個范圍,這個式子計算一下就是:

到這一步了,你還會說不知道答案是啥么?

3

不定方程在我們的考試中出現的很少,但也差不多過幾年就有一個,這類題的特點就是看著很嚇人,不知道怎么才能解出答案。但解題方法很容易掌握,說破了就簡單了。

下面我們看一種不定方程的另一種題型。

某單位年終共發了100萬元獎金,獎金金額分別是一等獎1.5萬元、二等獎1萬元、三等獎0.5萬元。則該單位至少有100人。

(1)得二等獎的人數最多。

(2)得三等獎的人數最多。

這是一道條件充分性判斷題,是看哪個條件能推算出來該單位至少有100人。上面的兩道題,都是最終求解出一個整數的解。而這道題求的是一個范圍,怎么做呢,我們來做做看。

首先設領1.5萬元,1萬元,0.5萬元的人數分別是x、y、z,(年終獎夠豐厚得呀,老板,看這里,這里,我也要!)根據題意有:

這個是題目中給的已知條件,最終就是看條件(1)和條件(2)哪個能推出來x+y+z≥100。我們來看條件(1),得二等獎的人最多。條件(2),得三等獎的人數最多。不管得二等獎和三等獎的人數是什么情況,我們的當務之急就是建立上面的式子和x+y+z的關系,因為我們的目的就是x+y+z。那我們把上面的式子給變化一些,硬湊出一個x+y+z。

現在x+y+z湊出來了,而且尾巴上還帶了個100,好像和100有些關系了。既然要求最少100人,那么只要(z-x)≥0不就可以了嗎?即z≥x就可以了。我們看條件(1),只提到了y最大,和我們的推論沒關系,也推不出z≥x。條件(2)中,z最大,那z≥x是肯定成立的,因此這道題條件(1)不充分,條件(2)充分。選B。

好了,不定方程的內容,我們就講到這里了,希望下期還能在這里遇見你,我們一起進步、一起成長,迎接考試,迎接金榜題名的那一天!

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