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考研數學:必考的定理證明整理(1)

考研數學的定理證明是一直考生普遍感覺不太有把握的內容,而2016年考研數學真題釋放出一個明確信號——考生需重視教材中重要定理的證明。下面跨考教育為考生梳理一下教材中那些要求會證的重要定理。

一、求導公式的證明

2015年真題考了一個證明題:證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎么用比較熟悉,而對它怎么來的較為陌生。實際上,從授課的角度,這種在2015年前從未考過的基本公式的證明,一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態只關注結論怎么用,而不關心結論怎么來的,那很可能從未認真思考過該公式的證明過程,進而在考場上變得很被動。這里給2017考研學子提個醒:要重視基礎階段的復習,那些真題中未考過的重要結論的證明,有可能考到,不要放過。

當然,該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察,可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型,但不能用洛必達法則,因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的,不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法,加一項,減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯系,便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對,除以分母后考慮極限,不難得出結果。再由x0的任意性,便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

類似可考慮f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)/g(x)的導數公式的證明。

二、微分中值定理的證明

這一部分內容比較豐富,包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個:1.f'(x0)存在2. f(x0)為f(x)的極值,結論為f'(x0)=0。考慮函數在一點的導數,用什么方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x) -f(x0)<0(或>0),對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式,不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號,如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的,那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三:“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”,結論是在開區間存在一點(即所謂的中值),使得函數在該點的導數為0。該定理的證明不好理解,需認真體會:條件怎么用?如何和結論建立聯系?當然,我們現在討論該定理的證明是“馬后炮”式的:已經有了證明過程,我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代,證出該定理,那可是十足的創新,是要流芳百世的。

閑言少敘,言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理,那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論,不難發現是一致的:都是函數在一點的導數為0。話說到這,可能有同學要說:羅爾定理的證明并不難呀,由費馬引理得結論不就行了。大方向對,但過程沒這么簡單。起碼要說清一點:費馬引理的條件是否滿足,為什么滿足?

前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”,“可導”不難判斷是成立的,那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質,哪條性質和極值有聯系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清楚,因為直接影響下面推理的走向。結論是:若最值取在區間內部,則最值為極值;若最值均取在區間端點,則最值不為極值。那么接下來,分兩種情況討論即可:若最值取在區間內部,此種情況下費馬引理條件完全成立,不難得出結論;若最值均取在區間端點,注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等,由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等,這意味著函數在整個區間的表達式恒為常數,那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果:真題中直接考過拉格朗日定理的證明,若再考這些原定理,那自然駕輕就熟;此外,這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路,適用于證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例,既然用羅爾定理證,那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形,變成羅爾定理結論的形式,移項即可。接下來,要從變形后的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導后,把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查:根據這個犯罪現場,反推嫌疑人是誰。當然,構造輔助函數遠比破案要簡單,簡單的題目直接觀察;復雜一些的,可以把中值換成x,再對得到的函數求不定積分。

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